Длина вектора. Неравенство Коши–Буняковского

Длина вектора $x$ - неотрицательное действительное число $|x| := \sqrt{xx}$

$$\forall{\alpha \in F}~~ |\alpha x| = |\alpha| \cdot |x|$$ Д-во: $$|\alpha x| = \sqrt{(\alpha x)(\alpha x)} = \sqrt{\alpha\overline{\alpha}(xx)} = \sqrt{|\alpha|^{2}(xx)} = \sqrt{|\alpha|^{2}} \cdot \sqrt{xx} = |\alpha| \cdot |x|$$

Пусть $V$ - пространство со скалярным произведением и $x, y \in V$. Тогда: $$|xy| \leq |x| \cdot |y| ~~~~~(*)$$ причём равенство достигается $\iff$ $x$ и $y$ линейно зависимы.

Для начала докажем первое утверждение. Если $y = 0$, то $|xy| = |x| \cdot |y| = 0$ и доказывать нечего. Поэтому $y \neq 0 \implies yy > 0$. Рассмотрим вектор $x - \alpha y,~ \alpha \in F$. По 4 аксиоме: $$(x-\alpha y)(x-\alpha y) \geq 0 \implies xx - \alpha yx - \alpha xy + \alpha\overline{\alpha}yy \geq 0$$ Так как $\alpha$ - любой скаляр, подставим вместо него число $\dfrac{xy}{yy}$: $$\begin{align} 0 &\leq xx - \dfrac{xy}{yy} \cdot yx - \dfrac{\overline{xy}}{yy} \cdot xy + \dfrac{xy}{yy} \cdot \dfrac{\overline{xy}}{yy} \cdot yy = \\ &= xx - \dfrac{xy \cdot \overline{xy}}{yy} = xx - \dfrac{|xy|^{2}}{yy} \end{align}$$ Получаем: $$\begin{align} \dfrac{|xy|^{2}}{yy} &\leq xx ~~\Huge|\normalsize \cdot yy > 0 \\ |xy|^{2} &\leq xx \cdot yy \\ |xy|^{2} &\leq |x|^{2} \cdot |y|^{2} ~~\Huge|\normalsize \sqrt{} \\ |xy| &\leq |x| \cdot |y| \end{align}$$ Теперь докажем второе утверждение. Если $x$ и $y$ линейно независимы, то $x - \alpha y \neq 0$, поэтому верно строгое неравенство: $$(x - \alpha y)(x-\alpha y) > 0$$ Поэтому во всех выкладках выше нестрогий знак можно заменить на строгий. Таким образом, если в $(*)$ имеет место равенство, то $x$ и $y$ - линейно зависимы. Докажем обратное. Пусть $x$ и $y$ линейно зависимы. Так как $y \neq 0 \Rightarrow x = \gamma y$. Отсюда: $$|xy| = |(\gamma y)y| = |\gamma(yy)| = |\gamma| \cdot |yy| = |\gamma| \cdot |y| \cdot |y| = |\gamma y| \cdot |y| = |x| \cdot |y|$$ Теорема доказана $~~~\square$

Для произвольных $x$ и $y$ из пространства со скалярным произведением выполняется: $$|x + y| \leq |x| + |y|$$ Если $x$ и $y$ линейно независимы, то неравенство строгое.

Стоит преобразовать $|x + y|^{2}$, применить неравенство треугольника для комплексных чисел, $|yx| = |xy|$ и неравенство Коши-Буняковского.